summaryrefslogtreecommitdiff
path: root/contrib7/omega/OmegaLemmas.v
diff options
context:
space:
mode:
Diffstat (limited to 'contrib7/omega/OmegaLemmas.v')
-rw-r--r--contrib7/omega/OmegaLemmas.v399
1 files changed, 399 insertions, 0 deletions
diff --git a/contrib7/omega/OmegaLemmas.v b/contrib7/omega/OmegaLemmas.v
new file mode 100644
index 00000000..0d05fc3e
--- /dev/null
+++ b/contrib7/omega/OmegaLemmas.v
@@ -0,0 +1,399 @@
+(************************************************************************)
+(* v * The Coq Proof Assistant / The Coq Development Team *)
+(* <O___,, * CNRS-Ecole Polytechnique-INRIA Futurs-Universite Paris Sud *)
+(* \VV/ **************************************************************)
+(* // * This file is distributed under the terms of the *)
+(* * GNU Lesser General Public License Version 2.1 *)
+(************************************************************************)
+
+(*i $Id: OmegaLemmas.v,v 1.1.2.1 2004/07/16 19:30:17 herbelin Exp $ i*)
+
+Require ZArith_base.
+
+(** These are specific variants of theorems dedicated for the Omega tactic *)
+
+Lemma new_var: (x:Z) (EX y:Z |(x=y)).
+Intros x; Exists x; Trivial with arith.
+Qed.
+
+Lemma OMEGA1 : (x,y:Z) (x=y) -> (Zle ZERO x) -> (Zle ZERO y).
+Intros x y H; Rewrite H; Auto with arith.
+Qed.
+
+Lemma OMEGA2 : (x,y:Z) (Zle ZERO x) -> (Zle ZERO y) -> (Zle ZERO (Zplus x y)).
+Exact Zle_0_plus.
+Qed.
+
+Lemma OMEGA3 :
+ (x,y,k:Z)(Zgt k ZERO)-> (x=(Zmult y k)) -> (x=ZERO) -> (y=ZERO).
+
+Intros x y k H1 H2 H3; Apply (Zmult_eq k); [
+ Unfold not ; Intros H4; Absurd (Zgt k ZERO); [
+ Rewrite H4; Unfold Zgt ; Simpl; Discriminate | Assumption]
+ | Rewrite <- H2; Assumption].
+Qed.
+
+Lemma OMEGA4 :
+ (x,y,z:Z)(Zgt x ZERO) -> (Zgt y x) -> ~(Zplus (Zmult z y) x) = ZERO.
+
+Unfold not ; Intros x y z H1 H2 H3; Cut (Zgt y ZERO); [
+ Intros H4; Cut (Zle ZERO (Zplus (Zmult z y) x)); [
+ Intros H5; Generalize (Zmult_le_approx y z x H4 H2 H5) ; Intros H6;
+ Absurd (Zgt (Zplus (Zmult z y) x) ZERO); [
+ Rewrite -> H3; Unfold Zgt ; Simpl; Discriminate
+ | Apply Zle_gt_trans with x ; [
+ Pattern 1 x ; Rewrite <- (Zero_left x); Apply Zle_reg_r;
+ Rewrite -> Zmult_sym; Generalize H4 ; Unfold Zgt;
+ Case y; [
+ Simpl; Intros H7; Discriminate H7
+ | Intros p H7; Rewrite <- (Zero_mult_right (POS p));
+ Unfold Zle ; Rewrite -> Zcompare_Zmult_compatible; Exact H6
+ | Simpl; Intros p H7; Discriminate H7]
+ | Assumption]]
+ | Rewrite -> H3; Unfold Zle ; Simpl; Discriminate]
+ | Apply Zgt_trans with x ; [ Assumption | Assumption]].
+Qed.
+
+Lemma OMEGA5: (x,y,z:Z)(x=ZERO) -> (y=ZERO) -> (Zplus x (Zmult y z)) = ZERO.
+
+Intros x y z H1 H2; Rewrite H1; Rewrite H2; Simpl; Trivial with arith.
+Qed.
+
+Lemma OMEGA6:
+ (x,y,z:Z)(Zle ZERO x) -> (y=ZERO) -> (Zle ZERO (Zplus x (Zmult y z))).
+
+Intros x y z H1 H2; Rewrite H2; Simpl; Rewrite Zero_right; Assumption.
+Qed.
+
+Lemma OMEGA7:
+ (x,y,z,t:Z)(Zgt z ZERO) -> (Zgt t ZERO) -> (Zle ZERO x) -> (Zle ZERO y) ->
+ (Zle ZERO (Zplus (Zmult x z) (Zmult y t))).
+
+Intros x y z t H1 H2 H3 H4; Rewrite <- (Zero_left ZERO);
+Apply Zle_plus_plus; Apply Zle_mult; Assumption.
+Qed.
+
+Lemma OMEGA8:
+ (x,y:Z) (Zle ZERO x) -> (Zle ZERO y) -> x = (Zopp y) -> x = ZERO.
+
+Intros x y H1 H2 H3; Elim (Zle_lt_or_eq ZERO x H1); [
+ Intros H4; Absurd (Zlt ZERO x); [
+ Change (Zge ZERO x); Apply Zle_ge; Apply Zsimpl_le_plus_l with y;
+ Rewrite -> H3; Rewrite Zplus_inverse_r; Rewrite Zero_right; Assumption
+ | Assumption]
+| Intros H4; Rewrite -> H4; Trivial with arith].
+Qed.
+
+Lemma OMEGA9:(x,y,z,t:Z) y=ZERO -> x = z ->
+ (Zplus y (Zmult (Zplus (Zopp x) z) t)) = ZERO.
+
+Intros x y z t H1 H2; Rewrite H2; Rewrite Zplus_inverse_l;
+Rewrite Zero_mult_left; Rewrite Zero_right; Assumption.
+Qed.
+
+Lemma OMEGA10:(v,c1,c2,l1,l2,k1,k2:Z)
+ (Zplus (Zmult (Zplus (Zmult v c1) l1) k1) (Zmult (Zplus (Zmult v c2) l2) k2))
+ = (Zplus (Zmult v (Zplus (Zmult c1 k1) (Zmult c2 k2)))
+ (Zplus (Zmult l1 k1) (Zmult l2 k2))).
+
+Intros; Repeat (Rewrite Zmult_plus_distr_l Orelse Rewrite Zmult_plus_distr_r);
+Repeat Rewrite Zmult_assoc; Repeat Elim Zplus_assoc;
+Rewrite (Zplus_permute (Zmult l1 k1) (Zmult (Zmult v c2) k2)); Trivial with arith.
+Qed.
+
+Lemma OMEGA11:(v1,c1,l1,l2,k1:Z)
+ (Zplus (Zmult (Zplus (Zmult v1 c1) l1) k1) l2)
+ = (Zplus (Zmult v1 (Zmult c1 k1)) (Zplus (Zmult l1 k1) l2)).
+
+Intros; Repeat (Rewrite Zmult_plus_distr_l Orelse Rewrite Zmult_plus_distr_r);
+Repeat Rewrite Zmult_assoc; Repeat Elim Zplus_assoc; Trivial with arith.
+Qed.
+
+Lemma OMEGA12:(v2,c2,l1,l2,k2:Z)
+ (Zplus l1 (Zmult (Zplus (Zmult v2 c2) l2) k2))
+ = (Zplus (Zmult v2 (Zmult c2 k2)) (Zplus l1 (Zmult l2 k2))).
+
+Intros; Repeat (Rewrite Zmult_plus_distr_l Orelse Rewrite Zmult_plus_distr_r);
+Repeat Rewrite Zmult_assoc; Repeat Elim Zplus_assoc; Rewrite Zplus_permute;
+Trivial with arith.
+Qed.
+
+Lemma OMEGA13:(v,l1,l2:Z)(x:positive)
+ (Zplus (Zplus (Zmult v (POS x)) l1) (Zplus (Zmult v (NEG x)) l2))
+ = (Zplus l1 l2).
+
+Intros; Rewrite Zplus_assoc; Rewrite (Zplus_sym (Zmult v (POS x)) l1);
+Rewrite (Zplus_assoc_r l1); Rewrite <- Zmult_plus_distr_r;
+Rewrite <- Zopp_NEG; Rewrite (Zplus_sym (Zopp (NEG x)) (NEG x));
+Rewrite Zplus_inverse_r; Rewrite Zero_mult_right; Rewrite Zero_right; Trivial with arith.
+Qed.
+
+Lemma OMEGA14:(v,l1,l2:Z)(x:positive)
+ (Zplus (Zplus (Zmult v (NEG x)) l1) (Zplus (Zmult v (POS x)) l2))
+ = (Zplus l1 l2).
+
+Intros; Rewrite Zplus_assoc; Rewrite (Zplus_sym (Zmult v (NEG x)) l1);
+Rewrite (Zplus_assoc_r l1); Rewrite <- Zmult_plus_distr_r;
+Rewrite <- Zopp_NEG; Rewrite Zplus_inverse_r; Rewrite Zero_mult_right;
+Rewrite Zero_right; Trivial with arith.
+Qed.
+Lemma OMEGA15:(v,c1,c2,l1,l2,k2:Z)
+ (Zplus (Zplus (Zmult v c1) l1) (Zmult (Zplus (Zmult v c2) l2) k2))
+ = (Zplus (Zmult v (Zplus c1 (Zmult c2 k2)))
+ (Zplus l1 (Zmult l2 k2))).
+
+Intros; Repeat (Rewrite Zmult_plus_distr_l Orelse Rewrite Zmult_plus_distr_r);
+Repeat Rewrite Zmult_assoc; Repeat Elim Zplus_assoc;
+Rewrite (Zplus_permute l1 (Zmult (Zmult v c2) k2)); Trivial with arith.
+Qed.
+
+Lemma OMEGA16:
+ (v,c,l,k:Z)
+ (Zmult (Zplus (Zmult v c) l) k) = (Zplus (Zmult v (Zmult c k)) (Zmult l k)).
+
+Intros; Repeat (Rewrite Zmult_plus_distr_l Orelse Rewrite Zmult_plus_distr_r);
+Repeat Rewrite Zmult_assoc; Repeat Elim Zplus_assoc; Trivial with arith.
+Qed.
+
+Lemma OMEGA17:
+ (x,y,z:Z)(Zne x ZERO) -> (y=ZERO) -> (Zne (Zplus x (Zmult y z)) ZERO).
+
+Unfold Zne not; Intros x y z H1 H2 H3; Apply H1;
+Apply Zsimpl_plus_l with (Zmult y z); Rewrite Zplus_sym; Rewrite H3;
+Rewrite H2; Auto with arith.
+Qed.
+
+Lemma OMEGA18:
+ (x,y,k:Z) x=(Zmult y k) -> (Zne x ZERO) -> (Zne y ZERO).
+
+Unfold Zne not; Intros x y k H1 H2 H3; Apply H2; Rewrite H1; Rewrite H3; Auto with arith.
+Qed.
+
+Lemma OMEGA19:
+ (x:Z) (Zne x ZERO) ->
+ (Zle ZERO (Zplus x (NEG xH))) \/ (Zle ZERO (Zplus (Zmult x (NEG xH)) (NEG xH))).
+
+Unfold Zne ; Intros x H; Elim (Zle_or_lt ZERO x); [
+ Intros H1; Elim Zle_lt_or_eq with 1:=H1; [
+ Intros H2; Left; Change (Zle ZERO (Zpred x)); Apply Zle_S_n;
+ Rewrite <- Zs_pred; Apply Zlt_le_S; Assumption
+ | Intros H2; Absurd x=ZERO; Auto with arith]
+| Intros H1; Right; Rewrite <- Zopp_one; Rewrite Zplus_sym;
+ Apply Zle_left; Apply Zle_S_n; Simpl; Apply Zlt_le_S; Auto with arith].
+Qed.
+
+Lemma OMEGA20:
+ (x,y,z:Z)(Zne x ZERO) -> (y=ZERO) -> (Zne (Zplus x (Zmult y z)) ZERO).
+
+Unfold Zne not; Intros x y z H1 H2 H3; Apply H1; Rewrite H2 in H3;
+Simpl in H3; Rewrite Zero_right in H3; Trivial with arith.
+Qed.
+
+Definition fast_Zplus_sym :=
+[x,y:Z][P:Z -> Prop][H: (P (Zplus y x))]
+ (eq_ind_r Z (Zplus y x) P H (Zplus x y) (Zplus_sym x y)).
+
+Definition fast_Zplus_assoc_r :=
+[n,m,p:Z][P:Z -> Prop][H : (P (Zplus n (Zplus m p)))]
+ (eq_ind_r Z (Zplus n (Zplus m p)) P H (Zplus (Zplus n m) p) (Zplus_assoc_r n m p)).
+
+Definition fast_Zplus_assoc_l :=
+[n,m,p:Z][P:Z -> Prop][H : (P (Zplus (Zplus n m) p))]
+ (eq_ind_r Z (Zplus (Zplus n m) p) P H (Zplus n (Zplus m p))
+ (Zplus_assoc_l n m p)).
+
+Definition fast_Zplus_permute :=
+[n,m,p:Z][P:Z -> Prop][H : (P (Zplus m (Zplus n p)))]
+ (eq_ind_r Z (Zplus m (Zplus n p)) P H (Zplus n (Zplus m p))
+ (Zplus_permute n m p)).
+
+Definition fast_OMEGA10 :=
+[v,c1,c2,l1,l2,k1,k2:Z][P:Z -> Prop]
+[H : (P (Zplus (Zmult v (Zplus (Zmult c1 k1) (Zmult c2 k2)))
+ (Zplus (Zmult l1 k1) (Zmult l2 k2))))]
+ (eq_ind_r Z
+ (Zplus (Zmult v (Zplus (Zmult c1 k1) (Zmult c2 k2)))
+ (Zplus (Zmult l1 k1) (Zmult l2 k2)))
+ P H
+ (Zplus (Zmult (Zplus (Zmult v c1) l1) k1)
+ (Zmult (Zplus (Zmult v c2) l2) k2))
+ (OMEGA10 v c1 c2 l1 l2 k1 k2)).
+
+Definition fast_OMEGA11 :=
+[v1,c1,l1,l2,k1:Z][P:Z -> Prop]
+[H : (P (Zplus (Zmult v1 (Zmult c1 k1)) (Zplus (Zmult l1 k1) l2)))]
+ (eq_ind_r Z
+ (Zplus (Zmult v1 (Zmult c1 k1)) (Zplus (Zmult l1 k1) l2))
+ P H
+ (Zplus (Zmult (Zplus (Zmult v1 c1) l1) k1) l2)
+ (OMEGA11 v1 c1 l1 l2 k1)).
+Definition fast_OMEGA12 :=
+[v2,c2,l1,l2,k2:Z][P:Z -> Prop]
+[H : (P (Zplus (Zmult v2 (Zmult c2 k2)) (Zplus l1 (Zmult l2 k2))))]
+ (eq_ind_r Z
+ (Zplus (Zmult v2 (Zmult c2 k2)) (Zplus l1 (Zmult l2 k2)))
+ P H
+ (Zplus l1 (Zmult (Zplus (Zmult v2 c2) l2) k2))
+ (OMEGA12 v2 c2 l1 l2 k2)).
+
+Definition fast_OMEGA15 :=
+[v,c1,c2,l1,l2,k2 :Z][P:Z -> Prop]
+[H : (P (Zplus (Zmult v (Zplus c1 (Zmult c2 k2))) (Zplus l1 (Zmult l2 k2))))]
+ (eq_ind_r Z
+ (Zplus (Zmult v (Zplus c1 (Zmult c2 k2))) (Zplus l1 (Zmult l2 k2)))
+ P H
+ (Zplus (Zplus (Zmult v c1) l1) (Zmult (Zplus (Zmult v c2) l2) k2))
+ (OMEGA15 v c1 c2 l1 l2 k2)).
+Definition fast_OMEGA16 :=
+[v,c,l,k :Z][P:Z -> Prop]
+[H : (P (Zplus (Zmult v (Zmult c k)) (Zmult l k)))]
+ (eq_ind_r Z
+ (Zplus (Zmult v (Zmult c k)) (Zmult l k))
+ P H
+ (Zmult (Zplus (Zmult v c) l) k)
+ (OMEGA16 v c l k)).
+
+Definition fast_OMEGA13 :=
+[v,l1,l2 :Z][x:positive][P:Z -> Prop]
+[H : (P (Zplus l1 l2))]
+ (eq_ind_r Z
+ (Zplus l1 l2)
+ P H
+ (Zplus (Zplus (Zmult v (POS x)) l1) (Zplus (Zmult v (NEG x)) l2))
+ (OMEGA13 v l1 l2 x )).
+
+Definition fast_OMEGA14 :=
+[v,l1,l2 :Z][x:positive][P:Z -> Prop]
+[H : (P (Zplus l1 l2))]
+ (eq_ind_r Z
+ (Zplus l1 l2)
+ P H
+ (Zplus (Zplus (Zmult v (NEG x)) l1) (Zplus (Zmult v (POS x)) l2))
+ (OMEGA14 v l1 l2 x )).
+Definition fast_Zred_factor0:=
+[x:Z][P:Z -> Prop]
+[H : (P (Zmult x (POS xH)) )]
+ (eq_ind_r Z
+ (Zmult x (POS xH))
+ P H
+ x
+ (Zred_factor0 x)).
+
+Definition fast_Zopp_one :=
+[x:Z][P:Z -> Prop]
+[H : (P (Zmult x (NEG xH)))]
+ (eq_ind_r Z
+ (Zmult x (NEG xH))
+ P H
+ (Zopp x)
+ (Zopp_one x)).
+
+Definition fast_Zmult_sym :=
+[x,y :Z][P:Z -> Prop]
+[H : (P (Zmult y x))]
+ (eq_ind_r Z
+(Zmult y x)
+ P H
+(Zmult x y)
+ (Zmult_sym x y )).
+
+Definition fast_Zopp_Zplus :=
+[x,y :Z][P:Z -> Prop]
+[H : (P (Zplus (Zopp x) (Zopp y)) )]
+ (eq_ind_r Z
+ (Zplus (Zopp x) (Zopp y))
+ P H
+ (Zopp (Zplus x y))
+ (Zopp_Zplus x y )).
+
+Definition fast_Zopp_Zopp :=
+[x:Z][P:Z -> Prop]
+[H : (P x )] (eq_ind_r Z x P H (Zopp (Zopp x)) (Zopp_Zopp x)).
+
+Definition fast_Zopp_Zmult_r :=
+[x,y:Z][P:Z -> Prop]
+[H : (P (Zmult x (Zopp y)))]
+ (eq_ind_r Z
+ (Zmult x (Zopp y))
+ P H
+ (Zopp (Zmult x y))
+ (Zopp_Zmult_r x y )).
+
+Definition fast_Zmult_plus_distr :=
+[n,m,p:Z][P:Z -> Prop]
+[H : (P (Zplus (Zmult n p) (Zmult m p)))]
+ (eq_ind_r Z
+ (Zplus (Zmult n p) (Zmult m p))
+ P H
+ (Zmult (Zplus n m) p)
+ (Zmult_plus_distr_l n m p)).
+Definition fast_Zmult_Zopp_left:=
+[x,y:Z][P:Z -> Prop]
+[H : (P (Zmult x (Zopp y)))]
+ (eq_ind_r Z
+ (Zmult x (Zopp y))
+ P H
+ (Zmult (Zopp x) y)
+ (Zmult_Zopp_left x y)).
+
+Definition fast_Zmult_assoc_r :=
+[n,m,p :Z][P:Z -> Prop]
+[H : (P (Zmult n (Zmult m p)))]
+ (eq_ind_r Z
+ (Zmult n (Zmult m p))
+ P H
+ (Zmult (Zmult n m) p)
+ (Zmult_assoc_r n m p)).
+
+Definition fast_Zred_factor1 :=
+[x:Z][P:Z -> Prop]
+[H : (P (Zmult x (POS (xO xH))) )]
+ (eq_ind_r Z
+ (Zmult x (POS (xO xH)))
+ P H
+ (Zplus x x)
+ (Zred_factor1 x)).
+
+Definition fast_Zred_factor2 :=
+[x,y:Z][P:Z -> Prop]
+[H : (P (Zmult x (Zplus (POS xH) y)))]
+ (eq_ind_r Z
+ (Zmult x (Zplus (POS xH) y))
+ P H
+ (Zplus x (Zmult x y))
+ (Zred_factor2 x y)).
+Definition fast_Zred_factor3 :=
+[x,y:Z][P:Z -> Prop]
+[H : (P (Zmult x (Zplus (POS xH) y)))]
+ (eq_ind_r Z
+ (Zmult x (Zplus (POS xH) y))
+ P H
+ (Zplus (Zmult x y) x)
+ (Zred_factor3 x y)).
+
+Definition fast_Zred_factor4 :=
+[x,y,z:Z][P:Z -> Prop]
+[H : (P (Zmult x (Zplus y z)))]
+ (eq_ind_r Z
+ (Zmult x (Zplus y z))
+ P H
+ (Zplus (Zmult x y) (Zmult x z))
+ (Zred_factor4 x y z)).
+
+Definition fast_Zred_factor5 :=
+[x,y:Z][P:Z -> Prop]
+[H : (P y)]
+ (eq_ind_r Z
+ y
+ P H
+ (Zplus (Zmult x ZERO) y)
+ (Zred_factor5 x y)).
+
+Definition fast_Zred_factor6 :=
+[x :Z][P:Z -> Prop]
+[H : (P(Zplus x ZERO) )]
+ (eq_ind_r Z
+ (Zplus x ZERO)
+ P H
+ x
+ (Zred_factor6 x )).
generated by cgit v1.2.3 (git 2.39.1) at 2024-05-18 13:39:47 +0000