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path: root/theories/Bool/Bvector.v
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Diffstat (limited to 'theories/Bool/Bvector.v')
-rw-r--r--theories/Bool/Bvector.v209
1 files changed, 97 insertions, 112 deletions
diff --git a/theories/Bool/Bvector.v b/theories/Bool/Bvector.v
index 51d940cf..659630c5 100644
--- a/theories/Bool/Bvector.v
+++ b/theories/Bool/Bvector.v
@@ -6,7 +6,7 @@
(* * GNU Lesser General Public License Version 2.1 *)
(************************************************************************)
-(*i $Id: Bvector.v,v 1.6.2.1 2004/07/16 19:31:03 herbelin Exp $ i*)
+(*i $Id: Bvector.v 9245 2006-10-17 12:53:34Z notin $ i*)
(** Bit vectors. Contribution by Jean Duprat (ENS Lyon). *)
@@ -16,8 +16,8 @@ Require Import Arith.
Open Local Scope nat_scope.
-(*
-On s'inspire de PolyList pour fabriquer les vecteurs de bits.
+(**
+On s'inspire de List.v pour fabriquer les vecteurs de bits.
La dimension du vecteur est un paramètre trop important pour
se contenter de la fonction "length".
La première idée est de faire un record avec la liste et la longueur.
@@ -26,47 +26,14 @@ de nombreux lemmes pour gerer les longueurs.
La seconde idée est de faire un type dépendant dans lequel la
longueur est un paramètre de construction. Cela complique un
peu les inductions structurelles, la solution qui a ma préférence
-est alors d'utiliser un terme de preuve comme définition.
-
-(En effet une définition comme :
-Fixpoint Vunaire [n:nat; v:(vector n)]: (vector n) :=
-Cases v of
- | Vnil => Vnil
- | (Vcons a p v') => (Vcons (f a) p (Vunaire p v'))
-end.
-provoque ce message d'erreur :
-Coq < Error: Inference of annotation not yet implemented in this case).
-
-
- Inductive list [A : Set] : Set :=
- nil : (list A) | cons : A->(list A)->(list A).
- head = [A:Set; l:(list A)] Cases l of
- | nil => Error
- | (cons x _) => (Value x)
- end
- : (A:Set)(list A)->(option A).
- tail = [A:Set; l:(list A)]Cases l of
- | nil => (nil A)
- | (cons _ m) => m
- end
- : (A:Set)(list A)->(list A).
- length = [A:Set] Fix length {length [l:(list A)] : nat :=
- Cases l of
- | nil => O
- | (cons _ m) => (S (length m))
- end}
- : (A:Set)(list A)->nat.
- map = [A,B:Set; f:(A->B)] Fix map {map [l:(list A)] : (list B) :=
- Cases l of
- | nil => (nil B)
- | (cons a t) => (cons (f a) (map t))
- end}
- : (A,B:Set)(A->B)->(list A)->(list B)
+est alors d'utiliser un terme de preuve comme définition, car le
+mécanisme d'inférence du type du filtrage n'est pas aussi puissant que
+celui implanté par les tactiques d'élimination.
*)
Section VECTORS.
-(*
+(**
Un vecteur est une liste de taille n d'éléments d'un ensemble A.
Si la taille est non nulle, on peut extraire la première composante et
le reste du vecteur, la dernière composante ou rajouter ou enlever
@@ -75,125 +42,143 @@ On peut aussi tronquer le vecteur de ses p dernières composantes ou
au contraire l'étendre (concaténer) d'un vecteur de longueur p.
Une fonction unaire sur A génère une fonction des vecteurs de taille n
dans les vecteurs de taille n en appliquant f terme à terme.
-Une fonction binaire sur A génère une fonction des couple de vecteurs
+Une fonction binaire sur A génère une fonction des couples de vecteurs
de taille n dans les vecteurs de taille n en appliquant f terme à terme.
*)
-Variable A : Set.
+Variable A : Type.
-Inductive vector : nat -> Set :=
+Inductive vector : nat -> Type :=
| Vnil : vector 0
| Vcons : forall (a:A) (n:nat), vector n -> vector (S n).
Definition Vhead : forall n:nat, vector (S n) -> A.
Proof.
- intros n v; inversion v; exact a.
+ intros n v; inversion v; exact a.
Defined.
Definition Vtail : forall n:nat, vector (S n) -> vector n.
Proof.
- intros n v; inversion v; exact H0.
+ intros n v; inversion v as [|_ n0 H0 H1]; exact H0.
Defined.
Definition Vlast : forall n:nat, vector (S n) -> A.
Proof.
- induction n as [| n f]; intro v.
- inversion v.
- exact a.
-
- inversion v.
- exact (f H0).
+ induction n as [| n f]; intro v.
+ inversion v.
+ exact a.
+
+ inversion v as [| n0 a H0 H1].
+ exact (f H0).
Defined.
Definition Vconst : forall (a:A) (n:nat), vector n.
Proof.
- induction n as [| n v].
- exact Vnil.
+ induction n as [| n v].
+ exact Vnil.
- exact (Vcons a n v).
+ exact (Vcons a n v).
Defined.
Lemma Vshiftout : forall n:nat, vector (S n) -> vector n.
Proof.
- induction n as [| n f]; intro v.
- exact Vnil.
-
- inversion v.
- exact (Vcons a n (f H0)).
+ induction n as [| n f]; intro v.
+ exact Vnil.
+
+ inversion v as [| a n0 H0 H1].
+ exact (Vcons a n (f H0)).
Defined.
Lemma Vshiftin : forall n:nat, A -> vector n -> vector (S n).
Proof.
- induction n as [| n f]; intros a v.
- exact (Vcons a 0 v).
-
- inversion v.
- exact (Vcons a (S n) (f a H0)).
+ induction n as [| n f]; intros a v.
+ exact (Vcons a 0 v).
+
+ inversion v as [| a0 n0 H0 H1 ].
+ exact (Vcons a (S n) (f a H0)).
Defined.
Lemma Vshiftrepeat : forall n:nat, vector (S n) -> vector (S (S n)).
Proof.
- induction n as [| n f]; intro v.
- inversion v.
- exact (Vcons a 1 v).
-
- inversion v.
- exact (Vcons a (S (S n)) (f H0)).
+ induction n as [| n f]; intro v.
+ inversion v.
+ exact (Vcons a 1 v).
+
+ inversion v as [| a n0 H0 H1 ].
+ exact (Vcons a (S (S n)) (f H0)).
Defined.
-(*
-Lemma S_minus_S : (n,p:nat) (gt n (S p)) -> (S (minus n (S p)))=(minus n p).
-Proof.
- Intros.
-Save.
-*)
-
Lemma Vtrunc : forall n p:nat, n > p -> vector n -> vector (n - p).
Proof.
- induction p as [| p f]; intros H v.
- rewrite <- minus_n_O.
- exact v.
-
- apply (Vshiftout (n - S p)).
-
-rewrite minus_Sn_m.
-apply f.
-auto with *.
-exact v.
-auto with *.
+ induction p as [| p f]; intros H v.
+ rewrite <- minus_n_O.
+ exact v.
+
+ apply (Vshiftout (n - S p)).
+
+ rewrite minus_Sn_m.
+ apply f.
+ auto with *.
+ exact v.
+ auto with *.
Defined.
Lemma Vextend : forall n p:nat, vector n -> vector p -> vector (n + p).
Proof.
- induction n as [| n f]; intros p v v0.
- simpl in |- *; exact v0.
-
- inversion v.
- simpl in |- *; exact (Vcons a (n + p) (f p H0 v0)).
+ induction n as [| n f]; intros p v v0.
+ simpl in |- *; exact v0.
+
+ inversion v as [| a n0 H0 H1].
+ simpl in |- *; exact (Vcons a (n + p) (f p H0 v0)).
Defined.
Variable f : A -> A.
Lemma Vunary : forall n:nat, vector n -> vector n.
Proof.
- induction n as [| n g]; intro v.
- exact Vnil.
-
- inversion v.
- exact (Vcons (f a) n (g H0)).
+ induction n as [| n g]; intro v.
+ exact Vnil.
+
+ inversion v as [| a n0 H0 H1].
+ exact (Vcons (f a) n (g H0)).
Defined.
Variable g : A -> A -> A.
Lemma Vbinary : forall n:nat, vector n -> vector n -> vector n.
Proof.
- induction n as [| n h]; intros v v0.
- exact Vnil.
+ induction n as [| n h]; intros v v0.
+ exact Vnil.
+
+ inversion v as [| a n0 H0 H1]; inversion v0 as [| a0 n1 H2 H3].
+ exact (Vcons (g a a0) n (h H0 H2)).
+Defined.
- inversion v; inversion v0.
- exact (Vcons (g a a0) n (h H0 H2)).
+Definition Vid : forall n:nat, vector n -> vector n.
+Proof.
+ destruct n; intro X.
+ exact Vnil.
+ exact (Vcons (Vhead _ X) _ (Vtail _ X)).
Defined.
+Lemma Vid_eq : forall (n:nat) (v:vector n), v=(Vid n v).
+Proof.
+ destruct v; auto.
+Qed.
+
+Lemma VSn_eq :
+ forall (n : nat) (v : vector (S n)), v = Vcons (Vhead _ v) _ (Vtail _ v).
+Proof.
+ intros.
+ exact (Vid_eq _ v).
+Qed.
+
+Lemma V0_eq : forall (v : vector 0), v = Vnil.
+Proof.
+ intros.
+ exact (Vid_eq _ v).
+Qed.
+
End VECTORS.
(* suppressed: incompatible with Coq-Art book
@@ -203,7 +188,7 @@ Implicit Arguments Vcons [A n].
Section BOOLEAN_VECTORS.
-(*
+(**
Un vecteur de bits est un vecteur sur l'ensemble des booléens de longueur fixe.
ATTENTION : le stockage s'effectue poids FAIBLE en tête.
On en extrait le bit de poids faible (head) et la fin du vecteur (tail).
@@ -249,24 +234,24 @@ Definition BshiftRa (n:nat) (bv:Bvector (S n)) :=
Bhigh (S n) (Vshiftrepeat bool n bv).
Fixpoint BshiftL_iter (n:nat) (bv:Bvector (S n)) (p:nat) {struct p} :
- Bvector (S n) :=
+ Bvector (S n) :=
match p with
- | O => bv
- | S p' => BshiftL n (BshiftL_iter n bv p') false
+ | O => bv
+ | S p' => BshiftL n (BshiftL_iter n bv p') false
end.
Fixpoint BshiftRl_iter (n:nat) (bv:Bvector (S n)) (p:nat) {struct p} :
- Bvector (S n) :=
+ Bvector (S n) :=
match p with
- | O => bv
- | S p' => BshiftRl n (BshiftRl_iter n bv p') false
+ | O => bv
+ | S p' => BshiftRl n (BshiftRl_iter n bv p') false
end.
Fixpoint BshiftRa_iter (n:nat) (bv:Bvector (S n)) (p:nat) {struct p} :
- Bvector (S n) :=
+ Bvector (S n) :=
match p with
- | O => bv
- | S p' => BshiftRa n (BshiftRa_iter n bv p')
+ | O => bv
+ | S p' => BshiftRa n (BshiftRa_iter n bv p')
end.
End BOOLEAN_VECTORS.
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